Сопряженный оператор
Published on Apr 13, 2023 by HORHIK.

Оператор \(f^*: W \to V\) называется сопряженным к \(f\), если \(\forall x \in V, y \in W\) выполнено равенство \(\langle f(x), y \rangle = \langle x, f^*(y) \rangle\)

Если в \(V\) и \(W\) выбраны ортонормированные базисы и \(f\) имеет в этих базисах метрику \(A\) то \(f^* = A^T\)

Мне лень исправлять, но здесь под линейными функциями подразумеваются линейные функционалы. Т.е. такие функции \(f: V \to K\), отображающие вектор из \(V\) в поле \(K\) (сопоставляющие вектору число, если по человечески)

Пространство линейных функций \(V^*\) изоморфное (не заметно, но изоморфное) \(V\), базисами которого являются линейные функции \((\varepsilon_0, \varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n)\), такие что \(\varepsilon_i(x) = x_i\), где \(x_i\) - это коэффицент при \(e_i\) в разложении \(x \in V = x_0e_0 + x_1a_1 + \cdots + x_na_n\) по базисам \(V\)

То есть базисы пространства \(V^*\) сопряженного по отношению к \(V\) есть такие функции \(\varepsilon_i(x)\), каждая из которых достает из данного вектора \(x\) коэффициент, на который домножается базисный вектор \(e_i \in V\) в разложении \(x\) по базисам.

Пусть \(\alpha(x)\) - линейная функция \(\alpha: V \to K\) в пространстве \(V\) над полем \(K\). То есть линейный функционал.

\begin{align} \alpha(x) = a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\cdots+a_nx_n \end{align}

где \(\alpha(e_i) = a_i\) , то есть - \(a_i\) коэффициент при базисном векторе \(e_i\) - по сути единица??

Множество всех линейных функционалов в пространстве \(V\) над полем \(K\) тоже составляет пространство.

Доказательство: Так как \(\alpha(x)\) - линейная функция, то \(\alpha(x) = x_1\alpha(e_1) + \cdots + x_n\alpha(e_n), x_i \in K\) Тогда \((\alpha(e_1), \cdots, \alpha(e_n))\) - базис пространства всех линейных функционалов в пространстве \(V\) над полем \(K\). Будем его называть сопряженным к \(V\) пространством \(V^*\)

Есть линейное пространство \(V\) над \(K\) Множество всех линейных функционалов над этим пространством \(V\) в поле \(K\), тоже образует пространство. Так как это функционал, назовем его \(\alpha\) из определения следует что \(a(x) = x_1\alpha(e_1) + ... + x_n\alpha(e_n)\) То есть это линейная комбинация функционалов \(\alpha(e_1)...\alpha(e_n)\). И тогда эти функционалы являются базисом. Значит, этими базисными функционалами определяется все пространство функционалов из \(V\) в \(K\).

Возьмем такой базис \((\varepsilon_1, ... , \varepsilon_n)\), что \(\varepsilon_i(x) = x_{i}\). То есть что $i$-ый функционал от \(x\) возвращает \(i\) координату \(x \in V\). А почему мы взяли именно такой базис? А почему бы и нет? Что бы потом назвать его сопряженным к базису \(V\), да и все равно все линейные функционалы определеяются через базисные, а про них ничего не сказанно (могу тут ошибаться), поэтому почему не придумать бы такие.

Итак. Мы определили базис пространства всех линейных функционалов из \(V\) в \(K\), такое пространство мы будем называть сопряженным к \(V\) или двойственным к \(V\) и обозночать \(V^*\)

Из определения видно что \(x = \sum\limits_{i=0}^n \varepsilon_i(x)e_i\) то есть вектор из \(V\) можно представить как линейную комбинацию базисов с коэффцииентами \(\varepsilon_i(x)\) - т.е. обычные коэффициенты. Теперь рассмотрим линейные функционалы из \(V^*\) в \(K\). Т.е. такие функционалы \(f\) над пространством функционалов \(V^*\).

\(f: V^* \to K\)

\(f: (V \to K) \to K\)

Так как функционалы линейные, мы можем прийти к такому виду: \(f(v) = a_1f(\varepsilon_1) + ... + a_nf(\varepsilon_n), v: V \to K\). То есть также видим, что \(\langle f(\varepsilon_{1}), ... ,f(\varepsilon_{n})\rangle\) будет образовывать пространство всех линейных функционалов из \(V^*\) в \(K\). Такое пространство мы будет отмечать как \(V^{**}\) (doble Dual space, пространство, двойственное двойственному, сопряженное к сопряженному к \(V\))

Раз уж это пространство всех линейный функионалов, то мы можем найти в нем такую функцию \(f_x(\alpha) = \alpha(x), \alpha: V \rightarrow K, \alpha \in V^{*}\), то есть функционал из \(V^{**}\) принимает функционал из \(V^*\) и возвращает значение \(\alpha \in V^*\) от вектора \(x \in V\). А вспоминая, что \(x = \sum\limits_{i=0}^n \varepsilon_i(x)e_i\) мы можем представить это в виде \(x = \sum\limits_{i=0}^n f_x(\varepsilon_i)e_i\), откуда можно установить биекцию \(x \mapsto f_x\)

Винберг приходит к биекции по другому. Исходя из того, что \(f_x(\alpha) = \alpha(x)\), можем взять \(f_{e_i}(\varepsilon_j) = \varepsilon_j(e_i) = \delta_{ij}\), что равно символу кронекера (\(\delta_{ij} = 1, i=j\)) чего достаточно для того, что бы утвержать что \((f_{e_1}, ... ,f_{e_n})\) являются базисом \(V^{**}\), а отображение \(x \mapsto f_x\) по сути переводит линейную комбинацию векторов из базиса \(V\) в линейную комбинацию векторов из базиса \(V^{**}\) с такими же координатами.

(Почему с такими же? )

\begin{align*} x = \sum\limits_{i=0}^n f_x(\varepsilon_i)e_i \Rightarrow x = \sum\limits_{i=0}^n f_{a_1e_1+...+a_ne_{n}}(\varepsilon_i)e_i \\ (a_{1}f_{e_1}+...+a_nf_{e_{n}})(\varepsilon_i)e_i = \\ (a_1f_{e_1}(\varepsilon_{i}) + ... + a_nf_{e_n}(\varepsilon_{i}))e_{i}=a_{i}f_{e_{i}}(\varepsilon_{i})e_{i} = a_{i}e_{i} \\ \Rightarrow x = \sum\limits_{i=0}^n f_x(\varepsilon_i)e_i = \sum\limits_{i=0}^n a_{i}e_i \\ \end{align*}